Die Polynomdivision ist eine Mathematikoperation, bei der man ein Polynom durch ein anderes dividiert. Sie ähnelt der Langen Division in der Grundrechenart, aber mit Polynomen anstelle von Zahlen.
Hier ist ein Beispiel, wie man eine Polynomdivision durchführt:
Angenommen, wir möchten das Polynom
\(f(x)=x^3+3x^2+2x+1\)
durch
\(g(x) = x + 1\)
dividieren.
Wir können eine Lange Division setzen wie folgt:
x^3 + 3x^2 + 2x + 1
--------------------------
x + 1
x^2 + 2x + 1
----------
x + 1
x + 1
-----
1
Das Ergebnis der Division ist
\(f(x) = (x^2 + 2x + 1) + (x + 1)\), was geschrieben werden kann als
\(f(x) = (x + 1)(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x + 2)\).
Beachte, dass die Polynomdivision im Allgemeinen nicht zu einer vereinfachten Ausdruck führen kann. In solchen Fällen wird das Ergebnis in Form eines Quotienten und eines Restes geschrieben. Wenn wir zum Beispiel
\(f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1\) durch
\(g(x) = x + 2\) dividieren, erhalten wir
\(f(x) = (x^2 - x + 1) + (3x + 1)\), was geschrieben werden kann als
\(f(x) = x^2 - x + 1 + 3x + 1 = x^2 + 2x + 2 + 3x + 1 = (x + 1)^2 + 3x + 2\).
Der Rest ist \(3x + 2\), der nicht gleich null ist.
